📐 Geometria Conicelor

📐 Geometria Conicelor

🎙️ Podcast

Dacă preferați să ascultați în loc să citiți, ascultați rezumatul podcastului de 7 minute al acestei pagini generat de NotebookLM.

✍️ Introducere

Este o călătorie în timp care a început acum 50 de ani, când studiam pentru a deveni arhitect. Am început cu desene simple, apoi am văzut cât de dificilă era examenul de admitere. Am găsit câteva cărți în biblioteca liceului din Câmpulung, un tratat de geometrie pentru studenții din primul an de arhitectură. Era scris de un profesor faimos, Adrian Gheorghiu. Aici am găsit construcția poliedrelor regulate, folosind o riglă și compas, începând de la pentagon și secțiunea de aur. Am făcut primii pași către geometria proiectivă, apoi am găsit altă carte, de M. St. Botez, Geometrie descriptivă, apoi alte manuale despre proiecții și afinitate.

Am fost fascinat de construcțiile grecilor, de mii de ani în urmă, cu riglă și compas, am descoperit misterele ascunse în pentagon și apoi șirul lui Fibonacci. Am savurat cercul și problemele sale la școală, la lecțiile de geometrie, apoi am trecut prin Geometria lui Țițeica, pe care am rezolvat-o de două ori.

De la cerc, am ajuns la elipsă, apoi am luat calea dificilă, dar fascinantă către parabolă și hiperbolă. Am făcut o elipsă frumoasă din plastic gros, ca un pahar, construită cu puncte, am tăiat-o din carton, apoi am șlefuit forma paharului cu șmirghel. Așa le-am făcut pe toate, una câte una, și am cercetat toate proprietățile lor, legate de locuri geometrice, tangente, intersecții cu drepte, proprietăți optice și, în final, în spațiu, secțiunea conică și teoremele lui Dandelin.

Ariile și poligoanele regulate m-au fascinat de mic, în clasa a 6-a, când aveam 12 ani. Apoi Arhimede m-a uimit cu arta și măiestria sa, cu care a calculat Pi și sectorul unei parabole. Am făcut calculele pe un caiert cu pătrate, apoi le-am construit exact cu forme din plastic. În final, le-am transferat pe un format mare A4, unde le-am desenat precis, fără corecturi.

Așa am ajuns să descopăr misterele conicelor, care nu sunt predate în școli. Cine știa despre axe radicale, cercuri tangente la 3 cercuri, sau un tetraedru regulat în care sunt înscrise 4 sfere?
În același timp, învățam geometria proiectivă, creată de Gaspard Monge, unul dintre oamenii de știință care l-au însoțit mereu pe Napoleon. Am găsit proiecțiile și transformările geometrice, drepte și plane, intersecții de solide, toate rezolvate pe masa mea de lemn, pe care am găsit-o în atelierul unchiului meu, Alexandru Donici, un mare pictor din Câmpulung. Am mers departe și am umplut 10 caiete cu calcule, desene și proiecții, toate învățate după orele de școală sau în timpul vacanțelor, când prietenii mei se jucau pe dealuri și în păduri și erau fericiți că scăpaseră de școală. Aveam un program spartan, de armată, uneori mă trezeam la 5 dimineața și studiam 12, 14 ore până la miezul nopții. În pauze, jucam tenis cu 2 rachete făcute din plăci de plywood. Nu găseam mingi, pentru că eram sub comunism și sărăcia era peste tot. Aveam timp să studiez, și eram fericit.

Ceva despre conice; sunt fascinante, pentru că ascund mistere, încă necunoscute. Le vedem mereu în jurul nostru, când deschidem ușa și ieșim în stradă. Roțile mașinilor, volanele, bicicletele, toți vedem elipse, apoi parabole, farurile, care ne luminează noaptea și oglinzile, care transmit sau captează semnale de la distanță.
Umbra ascunde teorema lui Pitagora și, prin urmare, ecuații de gradul 2, ca toate conicele. Am găsit hiperbola și sub graficul său, funcțiile hiperbolice. Dacă am juca cu o lumânare pe un perete, noaptea am avea toate conicele, una câte una, care se schimbau cu înclinarea luminii spre perete. Planetele și atomii alergă pe elipse, anotimpurile vin și ele din legile lui Kepler, legate de elipse.

Acestea sunt doar câteva gânduri pe care le-am pus în această mică carte, am purtat cu mine toate caietele și schițele, peste mări și țări și astfel mi-am împlinit visul, că lucrarea mea va lumina în continuare toți căutătorii de frumusețe și adevăr.

🔍 Despre

• Construcții clasice folosind riglă și compas
• Sferele lui Dandelin și intersecțiile conice
• Proprietăți optice ale elipselor și parabolei
• Modele făcute manual și interpretări artistice
• Legături între geometrie, natură și simbolism biblic
• Diagrame ilustrate și construcții pas cu pas
• Reflecții despre învățarea în timpul epocii comuniste din România

📖 Detalii despre carte

• Titlu: Geometria Conicelor
• Autor: Pavy Beloiu
• Data publicării: 15 martie 2025
• Pagini: 156
• ISBN: 978-1234567890
• Formate: Copertă broșată, PDF

🧭 Din Prefață

"După jumătate de secol, mi-am împlinit visul de a aduce în lumină studiul conicelor. Am revizuit caietele din liceu de când aveam 17 ani și mă pregăteam să fiu arhitect. Eram pasionat de geometrie, de construcțiile precise cu riglă și compas..."

"Acum am găsit GeoGebra, care îmi permite să construiesc aceste forme cu precizie extremă. Studiul conicelor nu este doar academic – se conectează cu natura, fizica, lumina și chiar spiritualul. Am descoperit legături cu parabolele, simbolismul biblic și fundamentele lumii fizice."

- Pavy Beloiu, Florida, mai 2025

🗂️ Subiecte selectate din carte

• Elipsa și proprietățile sale optice
• Construcții geometrice cu riglă și compas
• Teorema lui Dandelin: sfere înscrise într-un con
• Parabola și legătura sa cu parabolele biblice
• Hiperbole și logaritmi
• Numărul ‘e’ și originea sa geometrică
• Aplicații în design, lumină și natură
• Metode antice făcute vizibile prin instrumente moderne (GeoGebra)

👉 Pentru lista completă a capitolelor, vizualizați indexul complet mai jos.

🧾 INDEX

• Prefață 5
• Elipsa 8
• Cercul și elipsa sunt figuri afine 11
• Construcția punctelor elipsei când sunt cunoscute diametrele conjugate 12
• Proprietatea optică a elipsei 15
• Construcția punctelor elipsei când sunt cunoscute axele 16
• Construcția tangentei 18
• Tangenta dintr-un punct exterior 20
• Tangenta paralelă cu o direcție dată 22
• Intersecția unei drepte cu elipsa 24
• Construcția axelor când sunt date 2 diametre conjugate 28
• O proprietate a elipsei 30
• Pentru a construi o elipsă când este dată o axă (b) și un punct M 33
• Despre o proprietate a cercului 34
• Aplicație - Construcția elipsei prin puncte 35
• Construcția a 40 de puncte 36
• Arc eliptic 37
• Teorema lui Dandelin: Sfere înscrise într-un con 39
• Elipsa și dualitatea - Ce îmi mai lipsește? 40
• Geometrie cu GeoGebra 41
• Problemă 47
• Construcția primei piramide - primul sfert de emisferă. 48
• Aplicarea construcției la o elipsă 59
• Parabola 62
• Ecuația parabolei 64
• Construcția prin puncte 65
• Generalizare 67
• Intersecția unei drepte cu o parabolă 68
• Proprietăți ale parabolei 71
• Proprietatea optică a parabolei 73
• Tangenta dintr-un punct dat M 75
• Relații dintre parabolă și triunghi 78
• Diametrele parabolei 79
• Într-o teoremă 80
• Construcție prin puncte pentru o parabolă oblică 81
• Cuadratura parabolei 82
• Teorema lui Dandelin – Sfere înscrise într-un con 88
• Parabola și parabolele în Biblie 91
• Geometria hiperbolei și aplicații 96
• Construcția hiperbolei prin puncte 103
• Construcția hiperbolei cu sfoară și riglă 107
• Construcția hiperbolei prin puncte - doar cu compas - altă metodă 108
• Tangente 113
• Teoreme 117
• Asimptote 119
• Alte proprietăți - hiperbola ca loc geometric 122
• Ecuația hiperbolei echilaterale în raport cu asimptotele 136
• Hiperbola echilaterală - grafice diferite 138
• Legătura dintre hiperbolă și logaritmi 144
• Altă construcție a hiperbolei unitare 149
• Construcție prin puncte când sunt cunoscute (a, b) 153
• Teorema lui Dandelin – Sfere înscrise într-un con 154
• Umbra - Aplicații practice 159
• Hiperbola și cercul 161
• Numărul e - sub hiperbolă 164
• Secțiune cu geometrie descriptivă - 1976 167
• Geometrie hiperbolică 169
• Concluzie 177
• Bibliografie 182