🎙️Podcast-EN (The hidden universe in the conics geometry)
f you prefer to listen instead of reading, listen to the podcast summary of this page generated by NotebookLM.
INDEX
Preface....................................................................................... .. 5
Ellipse.................................................................................. ..........7
Tangents................................................................................. ... 12
The ellipse and duality .................................... 29
Problem...................................................................................... 36
Parabola.......................................................................................48
Tangents........................................................................ ............ 58
Relationships between parabola and triangle 61
Quadrature of the parabola....................................... ....... ....... 64
The parabola and parables from the Bible.................. ..... 71
Hyperbola: geometry and applications........................ .. ...... 77
Tangents............................................................................. ....... 91
Connection between hyperbola and logarithms............. ......... 113
Hyperbolic functions.......................................................... .......123
The shadow - practical applications........................ .......126
The number e - under the hyperbola......................... ....130
Hyperbolic geometry............................................................ .... 133
Conclusion............................................................................ .....141
Bibliography........................................................................... ....145
Foreword
About Conics and Synthetic Geometry
After half a century, I have fulfilled my dream to bring to light the study of conics. I revisited my high school notebooks from when I was 17 and preparing to be an architect. I was passionate about geometry, about precise constructions with ruler and compass. I started with projective geometry, then descriptive geometry, with complicated planes and sections. I arrived at the conics and went deeper, marveling at their miracle.
I built them one by one from shapes precisely cut from transparent plastic, then polished them until I reached the perfect form, drawn with a ruler and compass. I found them again in Țițeica's geometry collection, which I went through twice. I learned their properties, wrote them nicely in a graph paper notebook, and drew them with explanations. Then I transferred them to a large A4 format, with precise drawings made with a black pen, without corrections. This is how I learned them, carried them with me across countries and seas, and every time I leafed through them, I sighed and regretted leaving them scattered in piles that had yellowed with time. I resumed them in Oregon last year, 2024, and now in Florida, I have finished them.
I wanted to bring new knowledge that is not taught in schools. While the parabola is studied in algebra, its equation is learned in the 8th grade, whether it holds water or not, its roots, real or imaginary... these are well-known to all diligent students who have completed 10 grades. Similarly, in high school mechanics, I learned about projectile trajectory and free fall as applications of Newton's and Galileo's laws. In analytical geometry, I studied all conics in turn, with equations and tangents. I bring novelties that are not taught in schools, perhaps only in mathematics or by architects in their first years of study. The beauty and miracle of simple and precise constructions with ruler and compass, geometric loci, radical axes, fascinated me, and I went further and further.
Now I have found GeoGebra, which allows for precision with 6 decimal places, and you can create anything you want in geometry and graphs, and even more, solids and complicated intersections. This is how I wrote The History of Logarithms and Regular Polyhedra, where I inscribed the 5 Platonic solids in a sphere. Likewise, I delighted in the pentagon and rediscovered it in the logarithmic spiral, which led me to the complex plane and Euler's formula. As a novelty, after studying the geometry of conics in detail, I penetrated them more deeply and found their connection with the Bible – the divine Word, descended from heaven. Thus, I connected the hyperbola to its shadow and universe, the ellipse, I found it in "what is missing from the ellipse," then the parabola, I associated it with the Lord's parables from the New Testament. I did not touch the circle; it is studied in schools, and through affinity, I moved on to the ellipse and the calculation of areas.
Of course, the study can continue at higher levels, but I stopped at the simplicity of simple and precise constructions that the Greeks used two millennia ago. It is a fragment of my history, when I spent summer vacations with complicated geometries, when my colleagues rejoiced that they had escaped school and exams... I was a daring person, passionate about mathematics, and I strived to reach higher and higher... I did not use the geometry of conics, but I remained with pleasant memories, and now I see them gathered in a modest little book...
(Pavy Beloiu, Florida - May 19, 2025)
🎙️Podcast-RO (Universul ascuns în geometria conicelor)
INDEX
INDEX
Prefață......................................................................................... 5
elipsa............................................................................................7
tangentele....................................................................................12
elipsa și dualitatea-ce-mi mai lipsește?.........................................32
problemă......................................................................................39
parabola........................................................................................50
tangentele....................................................................................60
relații dintre parabolă și triunghi..................................................64
cuadratura parabolei.....................................................................67
parabola și pildele din Biblie......................................................... 75
hiperbola geometrie și aplicații......................................................80
umbra și universul ei-funcțiile hiperbolice......... ........................83
tangentele....................................................................................94
legătura dintre hiperbolă și logaritmi.........................................120
funcțiile hiperbolice....................................................................128
umbra-aplicații practice.................................................................131
numărul e-sub hiperbolă...........................................................135
geometria hiperbolică...................................................................138
Încheiere.......................................................................................147
Bibliografie.....................................................................................148
Prefață
Cuvânt înainte
Despre conice și geometria sintetică
După o jumătate de veac, mi-am împlinit visul să readuc la lumină studiul conicelor. Am revăzut caietele mele din liceu, când aveam 17 ani și mă pregăteam pentru a fi arhitect. Eram pasionat de geometrie, de construcții precise cu rigla și compasul. Am început cu geometria proiectivă, apoi geometria descriptivă, cu plane și secțiuni complicate. Am ajuns la conice și am intrat mai adânc, și mă minunam de miracolul lor. Le-am construit pe rând din forme tăiate precis dintr-un plastic transparent, apoi le șlefuiam până ajungeam la forma perfectă, desenate cu rigla și compasul. Le-am regăsit în culegerea de geometrie de Țițeica, pe care am parcurs-o de 2 ori. Le învățam proprietățile, le scriam frumos într-un caiet cu pătrățele și le desenam cu explicații. Apoi le treceam pe format mare A4, cu desene precise, făcute cu un pix negru, fără corecturi. Așa le-am învățat, le-am purtat după mine peste țări și mări și de câte ori le răsfoiam oftam și-mi părea rău să le las aruncate în teancuri , care s-au gălbenit cu trecerea timpului. Le-am reluat în Oregon, anul trecut-2024 și acum în Florida le-am terminat.
Am dorit să aduc cunoștințe noi, care nu se învață în școli. Dacă parabola se studiază la algebra, ecuația ei se învață în clasa a 8 a, ține apă sau nu, rădăcinile, reale, sau imaginare...sunt bine cunoscute de toți elevii silitori, care au 10 clase. La fel la liceu, la mecanică am învățat traiectoria glonțului, aruncarea liberă, ca aplicații la legile lui Newton și Galilei. La geometria analitică, am studiat toate conicele pe rând, cu ecuații și tangente. Eu vin cu noutăți, care nu se învață în școli. Poate la matematici, sau arhitecții, în primii ani de studiu. Frumusețea și miracolul construcțiilor simple și precise cu rigla și compasul, locurile geometrice, axele radicale, m-au fascinat și am mers din ce în ce mai departe.
Acum am găsit geogebra , care permite precizie cu 6 zecimale și poți crea tot ce vrei în geometrie și grafice și mai mult, solide și intersecții complicate. Așa am scris Istoria logaritmilor și Poliedrele regulate, unde am înscris într-o sferă cele 5 solide ale lui Platon. La fel, m-am delectat cu pentagonul și l-am regăsit la spirala logaritmică, care m-a dus la planul complex și formula lui Euler.
Ca noutate, după studiul în detaliu al geometriei conicelor, le-am pătruns mai mult și le-am găsit în legătura cu Biblia-Cuvântul divin, coborât din cer. Așa am legat hiperbola de umbra și universul ei, elipsa, am regăsit-o în ce e lipsă la elipsă, apoi parabola, am asociat-o cu pildele Domnului din Noul Testament.
Cercul nu l-am atins, este studiat în școli și prin afinitate m-am mutat la elipsă și calculul ariilor. Desigur, studiul poate continua la nivele ridicate, dar m-am oprit la simplitatea construcțiilor simple și precise, pe care grecii le foloseau acum 2 milenii.
Este o frântură din istoria mea, când petreceam verile de vacanțe cu geometrii complicate, când colegii mei se bucurau că au scăpat de școală și examene...am fost un temerar, pasionat de matematică și mă străduiam să ajung, mai sus și mai sus...nu am folosit geometria conicelor, dar am rămas cu amintiri plăcute, și acum le vad adunate într-o modesta cărticică...
(Pavy Beloiu, Florida-19 mai 2025)